एक नया प्रमाण चिपचिपी ज्यामिति समस्या पर सुई घुमाता है

मूल संस्करण का यह कहानी इसमें दिखाई दिया क्वांटा पत्रिका.

1917 में, जापानी गणितज्ञ सोइची काकेया ने वह प्रस्तुत किया जो पहले तो ज्यामिति में एक मज़ेदार अभ्यास से अधिक कुछ नहीं लग रहा था। एक सपाट सतह पर एक असीम रूप से पतली, इंच लंबी सुई रखें, फिर इसे घुमाएं ताकि यह बारी-बारी से हर दिशा की ओर इशारा करे। वह कौन सा सबसे छोटा क्षेत्र है जिसे सूई पार कर सकती है?

यदि आप इसे इसके केंद्र के चारों ओर घुमाएंगे, तो आपको एक वृत्त मिलेगा। लेकिन आविष्कारी तरीकों से सुई को घुमाना संभव है, ताकि आप बहुत कम जगह बना सकें। गणितज्ञों ने तब से इस प्रश्न का एक संबंधित संस्करण प्रस्तुत किया है, जिसे काकेया अनुमान कहा जाता है। इसे सुलझाने के अपने प्रयासों में, उन्होंने इसका खुलासा कर दिया है हार्मोनिक विश्लेषण से आश्चर्यजनक संबंधसंख्या सिद्धांत, और यहां तक ​​कि भौतिकी भी।

“किसी तरह, कई अलग-अलग दिशाओं की ओर इशारा करने वाली रेखाओं की यह ज्यामिति गणित के एक बड़े हिस्से में सर्वव्यापी है,” कहा जोनाथन हिकमैन एडिनबर्ग विश्वविद्यालय के.

लेकिन यह भी कुछ ऐसा है जिसे गणितज्ञ अभी भी पूरी तरह से नहीं समझ पाए हैं। पिछले कुछ वर्षों में, उन्होंने काकेया अनुमान की विविधताएँ सिद्ध की हैं आसान सेटिंग्स में, लेकिन सामान्य, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यह प्रश्न अनसुलझा है। कुछ समय के लिए, ऐसा लगा जैसे अनुमान के उस संस्करण पर सारी प्रगति रुक ​​गई है, भले ही इसके कई गणितीय परिणाम हों।

अब, दो गणितज्ञों ने सुई को घुमाया है, ऐसा कहा जा सकता है। उनका नया सबूत एक बड़ी बाधा पर प्रहार करता है जो दशकों से कायम है—यह उम्मीद फिर से जगी है कि आखिरकार कोई समाधान नजर आ सकता है।

छोटी डील क्या है?

काकेया को विमान में ऐसे सेटों में दिलचस्पी थी जिसमें हर दिशा में 1 लंबाई का एक रेखा खंड होता है। ऐसे सेटों के कई उदाहरण हैं, सबसे सरल 1 के व्यास वाली डिस्क है। काकेया जानना चाहते थे कि ऐसा सबसे छोटा सेट कैसा दिखेगा।

उन्होंने एक त्रिभुज का प्रस्ताव रखा जिसकी भुजाएँ थोड़ी-सी धँसी हुई थीं, जिसे डेल्टॉइड कहा जाता है, जिसमें डिस्क का आधा क्षेत्रफल होता है। हालाँकि, यह पता चला कि बहुत कुछ बेहतर करना संभव है।

1919 में, काकेया द्वारा अपनी समस्या प्रस्तुत करने के कुछ ही साल बाद, रूसी गणितज्ञ अब्राम बेसिकोविच ने दिखाया कि यदि आप अपनी सुइयों को एक विशेष तरीके से व्यवस्थित करते हैं, तो आप एक कांटेदार दिखने वाला सेट बना सकते हैं जिसका क्षेत्रफल मनमाना छोटा हो। (प्रथम विश्व युद्ध और रूसी क्रांति के कारण, उनका परिणाम कई वर्षों तक शेष गणितीय दुनिया तक नहीं पहुंच सका।)

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम कर सकता है, एक त्रिकोण लें और इसे इसके आधार के साथ पतले त्रिकोणीय टुकड़ों में विभाजित करें। फिर उन टुकड़ों को चारों ओर सरकाएं ताकि वे जितना संभव हो सके ओवरलैप हो जाएं लेकिन थोड़ा अलग दिशाओं में उभरे हुए हों। प्रक्रिया को बार-बार दोहराकर – अपने त्रिकोण को पतले और पतले टुकड़ों में विभाजित करके और ध्यान से उन्हें अंतरिक्ष में पुनर्व्यवस्थित करके – आप अपने सेट को जितना चाहें उतना छोटा बना सकते हैं। अनंत सीमा में, आप एक ऐसा सेट प्राप्त कर सकते हैं जिसका गणितीय रूप से कोई क्षेत्र नहीं है लेकिन फिर भी, विरोधाभासी रूप से, किसी भी दिशा में इंगित करने वाली सुई को समायोजित कर सकता है।

“यह एक तरह से आश्चर्यजनक और उल्टा है,” कहा रुइक्सियांग झांग कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले के। “यह एक ऐसा सेट है जो बहुत ही पैथोलॉजिकल है।”